问题要求找到最优控制律u∗ (t)=−Kx (t)u^* (t)=-Kx (t)u∗ (t)=−Kx (t)使得代价JJJ最小。 这个过程涉及求解代数黎卡提方程（Algebraic Riccati Equation,ARE）以获得最优范阔增益矩阵K。 下面详细推导LQR的求解步骤，并解释黎卡提方程的来源与求解方法。 考虑连续时间线性系统： x˙ (t)=Ax (t)+Bu (t),x (0)=x0 (2-1) \dot x (t)=Ax (t)+Bu (t),x (0)=x_0 \tag 2-1 x˙ (t)=Ax (t)+Bu (t),x (0)=x0 (2-1) 代价函数为： 文章浏览阅读7.5k次，点赞23次，收藏59次。 本文先简要介绍了LQR有关的基础理论知识，然后进行了详细的LQR求解公式推导，最后通过一个简单的demo程序模拟LQR的优化效果。 LQR在自动驾驶领域应用比较多，尤其是在自动驾驶的控制模块用得比较多。 关于这部分的知识在MATLAB中早就已经有了关于求解LQR的命令：lqr, lqry, dlqr,lqi等等。 lqr是对应Infinite horizon LQR, lqry对应的Infinite horizon LQ state-feedback regulator with output weighting, dlqr是对应 discrete system, lqi是LQR with integral control。 此时可以发现，与LQR相比，iLQR除了二次型外，还有线性项. 核心目标： 将状态驱动到 原点x = 0 \boldsymbol x =\mathbf 0 x=0。 LQR 的局部目标函数是 纯二次型，且假设最优轨迹是 x = 0 , u = 0 \boldsymbol x =\mathbf 0 , \boldsymbol u =\mathbf 0 x=0,u=0。 由于成本函数在原点没有梯度，所以值函数 V k V_kV k 在 x = 0 \boldsymbol x =\mathbf 0 x=0 附近也没有梯度。 最优控制，其本质就是让系统以某种最小的代价来让系统运行，当这个代价被定义为二次泛函，且系统是线性的话，那么这个问题就称为线性二次问题，设计的控制器（即问题的解）可以称为LQR（Linear Quadratic Regulator）线性二次调节器。 1、连续时间 代价. 本文介绍了如何在MATLAB中使用lqr函数来求解线性二次调节器 (LQR)的K参数，以及如何将这些参数应用到控制系统的设计当中。 计算反馈矩阵K的步骤： 1 选择QR矩阵 2 求解Riccati方程的P（P是公式推导过程中设的矩阵，目的就是方便求K，在这求出P就能求出K） 3 计算 （在matlab中给定A，B，Q，R用lqr函数可直接计算出K） 在LQR（线性二次型调节器）控制系统设计中，一个常见技术问题是：**如何从Riccati方程解析解或数值求解中得到状态反馈增益矩阵K，并将其正确嵌入闭环结构？ ** 实践中，工程师常误将K直接作用于测量输出y而非真实状态x（忽略观测器需求），或混淆连续/离散代数Riccati方程（CARE/DARE）的适用场景；更常见的是，在Simulink或嵌入式实现中未对K进行维度校验（如K∈ℝ^ m×n 与状态向量x∈ℝⁿ的乘法顺序错误），导致闭环极点偏移甚至不稳定。 此外，当系统存在输入约束或模型不确定性时，未经缩放的K可能引发执行器饱和或鲁棒性下降，但设计者常忽略Q/R权重矩阵的物理意义调优与K的条件数评估。 This MATLAB function calculates the optimal gain matrix K, the solution S of the associated algebraic Riccati equation, and the closed-loop poles P for the continuous-time or discrete-time state-space model sys. 一旦解出黎卡提方程的对称半正定矩阵P，就可以使用其中的信息来计算LQR控制器的增益矩阵K。 其中，R是一个对称正定矩阵，通常用于表示一个有限动态控制系统所施加的“代价”。 在这个公式中，增益矩阵K 取决于已知的矩阵 P，B，R。.